Qual a origem do cifrão?

Pode parecer mentira, mas a tese mais bem-aceita sobre a origem do cifrão tem a ver com o semideus grego Hércules. Chegamos nisso logo logo.

Normalmente as moedas têm uma representação gráfica que se compõe de seu símbolo - no caso do Real, um R, no caso do dólar, um US - e do cifrão ($). Este foi inventado pelo general Táriq-ibn-Ziyád, que comandou a bem sucedida invasão árabe da Península Ibérica, no século VIII. Essa invasão, iniciada quando um rei deposto pediu auxílio militar aos mouros, terminou no domínio árabe da região onde hoje estão Espanha e Portugal - apenas em 1492 a última cidade espanhola foi recuperada pelos europeus.

Mas voltemos ao general. Táriq teria partido da Arábia e atravessado o Egito, os desertos do Saara e da Líbia, a Tunísia, a Argélia e o Marrocos até cruzar o Estreito de Gibraltar e chegar à Espanha. O numismata Claudio Amato, ex-presidente da Sociedade Numismática Brasileira, conta que o general teria mandado cunhar moedas mostrando uma linha sinuosa, em "S", representando o seu tortuoso caminho, em comemoração a sua vitória. E os traços verticais do cifrão?

Aí é que entra Hércules, o semideus responsável pelos 12 Trabalhos mais impressionantes do mundo antigo. Em um desses trabalhos, Hércules abriu caminho rachando ao meio uma montanha com apenas um golpe de maça - assim conta a mitologia. Deste episódio veio o apelido do Estreito de Gibraltar, que separa a África da Europa: Colunas de Hércules. Amato, então, liga o cifrão a tudo isso: "nas moedas, os dois traços representam as colunas atravessadas por Táriq na campanha para a conquista".

Fonte: Casa da Moeda do Brasil

Palavras Cruzadas com os Números Reais

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Números Primos

Uma Atividade bem legal para ser aplicada em turmas do 7º ano do Crivo de Eratóstenes.

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Introdução à Matemática Financeira

A Matemática Financeira é um ramo da matemática que analisa algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Faz usos de alguma ferramentas para melhorar o desempenho e agilizar processos, atuando assim, na simplificação de operações financeiras a um Fluxo de Caixa. Alguns de seus elementos básicos são: capital, juros, taxas e montante.

O conhecimento de algumas siglas é importante para o entendimento deste conteúdo.

C = capital ou P = principal – significam o mesmo

J = juros

n = número de períodos

t = tempo ou período

i = taxa de juros

M = montante

s = montante de capitalização composta

A matemática financeira possibilita um maior estudo sobre a área financeira de determinado segmento ou pessoa e o contexto em que ela está inserida. Esse ramo da matemática auxilia na compreensão de áreas como Engenharia Financeira e Análise de Investimentos.

Para que haja maior rentabilidade em uma empresa, é necessário que o investidor conheça alguns conceitos e saiba aplicar técnicas que resultam na tomada de decisões e no gerenciamento financeiro da organização.

Matemática Financeira na Prática

Visto que as organizações cada vez mais precisam estabelecer relações comerciais entre consumidores, fornecedores e investidores, a matemática financeira, ajuda na capacitação dos profissionais e na busca de maiores oportunidades de negócios. Por exemplo, se a empresa SC produções, do ramo de eventos, precisa de um empréstimo de R$ 400.000,00 para auxiliar nas suas despesas financeiras e pagar alguns fornecedores, uma instituição financeira poderá avaliar esse valor e definir um prazo em que ele será pago. Após a análise da proposta, em suposição, o banco estipulou o prazo de quatro meses para o pagamento. Assim, haverá R$ 400.000,00 na conta da empresa e ao final de quatro meses, esta empresa deverá pagar ao banco R$ 420.000.00.

1. Com base nesse exemplo, verificamos que houve uma operação financeira em que empresa e banco realizaram uma transação;
2. Essa operação, tem um valor inicial de R$ 400.000,00 (Capital) e um valor final R$ 420.000.00 (Montante);
3. O tempo dessa operação, estipulado pelo banco, é de quatro meses;
4. Entre o montante e o capital existe uma taxa de juros que beneficiará o banco (credor) e será um custo para a empresa (devedor).

Conceitos Principais em Matemática Financeira

Para a realização dessas situações, é necessário entender os conceitos básicos e termos principais utilizados dentro de matemática financeira:

Capital

É chamado também de valor atual, presente ou aplicado. É o valor representado por uma determinada quantia de dinheiro, títulos ou bens, disponível numa certa data para aplicação numa operação financeira. Também entende-se por capital qualquer valor expresso em moeda. É representado pela letra C, de capital ou P, de principal.

Juros

Valor cobrado pelo credor pelo empréstimo do capital em um período de tempo específico, valor do atraso de uma prestação ou o lucro de uma aplicação financeira. Pode ser dividido em Juros Simples e Juros Compostos. É representado pela letra J. A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtêm um montante inferior ao que financia por juros compostos.

Regime de Juros Simples e Juros Compostos

Capitalização: adicionar os juros ao capital.

Regime de Juros Simples (Juros Simples): acontece quando os juros são calculados por um período juntamente com o capital inicial aplicado. Assim, apenas o capital inicial é o que rende juros. Geralmente é utilizado para aplicações de curto período, descontos simples e duplicatas. A fórmula utilizada para calcular juros simples é:

J = C x i x n

Regime de Capitalização Composta (Juro Composto): acontece quando o juro de cada período é adicionado ao capital inicial, para dar origem ao novo valor de capital do próximo período. Geralmente, esse regime é utilizado na maioria das operações financeiras, como empréstimos, financiamentos, correção de poupança, etc. A fórmula utilizada para o cálculo dos juros compostos é:

M = C (1 + i)t

Taxa de Juros

É a taxa cobrada por um credor, definida de acordo com o valor do empréstimo. É apresentada em porcentagem de acordo com o valor inicial, o tempo, a taxa de inflação e o risco de crédito. Indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado e pode ser especificada, variando de caso para caso.

Taxas de Juros aplicadas:

a.a. - ao ano;
a.m. - ao mês;
a.d. - ao dia;
a.b. - ao bimestre;
a.t. - ao trimestre;
a.q. - ao quadrimestre;

Montante

O juro, adicionado ao capital, em determinado período de tempo, é chamado de montante em uma operação financeira. A fórmula utilizada para o cálculo é:

M = C + J

Desconto

O desconto é a redução sob um valor ou título de crédito quando o pagamento é antecipado. Conceitos utilizados em desconto:

• Valor Nominal (valor de face): valor no título a ser pago no vencimento.
• Valor Atual: valor a ser efetuado ou recebido antes do vencimento, geralmente, já é vem com o desconto.
• Dia do Vencimento: data definida para o pagamento do titulo.
• Tempo ou Prazo: diferença em dias entre a data do vencimento e a data da negociação.

O desconto é definido pela diferença existente entre o valor nominal (S) para um valor na data do vencimento e o valor atual (C) na data em que é realizado o pagamento e permite saber qual o desconto a ser dado no título em questão. É representada pela fórmula:

D = S – C

Eles são divididos em simples ou compostos derivados dos dois regimes de capitalização existentes. O Desconto Simplesé dividido em:

Desconto Comercial ou Bancário (Por fora): desconto do valor futuro (valor nominal) com base no valor presente.

Desconto Racional (Por dentro): o desconto é oferecido na diferença existente entre o valor futuro (valor nominal) e o valor atual (valor líquido). Geralmente, é calculado em juros simples.

Já os Descontos Compostos, são calculados juntamente com a taxa de juros compostos, considerados os períodos determinados.

Fluxo de Caixa

É um instrumento operacional e gerencial que controla e informa movimentações financeiras referentes as entradas e saídas de valores monetários de caixa recebido e gasto por um órgão público num determinado período de tempo. Seus dados são compostos através de contas a pagar, contas a receber, de vendas, de despesas, de saldos de aplicações, e todos os demais que representem as movimentações de recursos financeiros disponíveis da organização.

Juros Simples e Compostos

Juros Simples

Regime de Juros Simples

O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se relaciona à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para juros simples é dado pela fórmula:

J = PV x i x n

J = Juro

PV = Capital inicial, principal ou valor presente

i = taxa de juros

n = número de períodos em que foi aplicado o capital

No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.:

Saiba Calcular Juros Simples

1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros simples de 6% ao mês?

Dados encontrados:

PV= R$ 200

i = 6 %a.m.

n = 6 meses

J = ?

Conversão da taxa de juros:

6% → 6/100 → 0,06

Resolução:

J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00

Explicação do Problema em Juros Simples

1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)

2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)

3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)

4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)

5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)

6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)

Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial.

Importante
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros:
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.)
Número de Períodos= 6 meses

Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja:

Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.)
Número de Períodos = 3 anos → 8 semestres

Cálculo de Juros Simples em Períodos Não Inteiros

Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar frações de períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros:

1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres.

2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo:

n = 5 anos e 9 meses → 69 meses

i = 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês

Juro Exato

O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A fórmula a ser utilizada será:

J = Pv i n / 365

Saiba Calcular Juro Exato

1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano?

Dados encontrados:

PV= R$ 20.000

i = 30 %a.a.

n = 40 dias

J = ?

Conversão da taxa de juros:

30% → 30/100 → 0,3

Resolução:

J = Pv i n / 365 → J = R$ 20.000 x 0,3 x 40 / 365 → J = R$ 240.000 / 365 → J = R$ 657,53

Juros Compostos

Regime de Capitalização Composta

Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o cálculo dos juros no período posterior.

Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao capital inicial. Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros.

Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula:

M= C (1+i)ᵑ

Saiba Calcular Juros Compostos

1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros composta de 6% ao mês?

Dados encontrados:

PV= R$ 200

i = 6 %a.m.

N = 6 meses

M= ?

Conversão da taxa de juros:

6% → 6/100 → 0,06

Resolução:

M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ → M = R$ 200 (1,06)⁶ → M = R$ 200 x 1,41 → M= R$283,70

A diferença entre o capital inicial e o montante é o Juro Composto. Veja:

J = C – M → J = R$ 200 – 283,70 → J = R$ 83,70

Veja a diferença dos juros simples para os juros compostos:

O que é Juro?

Geralmente, os juros são determinados pelo Copom (Comitê de Política Monetária), um órgão do Banco Central que estabelece as normas da política monetária e da taxa de juros.

Todos os anos, durante as reuniões feitas pelos membros do Copom são definidos os índices de consumo e produção que afetam o crescimento do país. Eles publicam relatórios sobre a inflação e informam sobre a situação econômica do país.

De acordo com Samanez (2002), em seu livro 'Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos' a definição de juro é:

“Juro é remuneração do capital empregado”

Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um valor adicional a ser cobrado pela utilização desse dinheiro. Por exemplo, ao aplicar um capital, em um período de tempo específico, ao final dessa aplicação o capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O montante é o capital aplicado mais os juros que foram acumulados durante o período da aplicação.

O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é dado pela diferença entre o montante (M) e o capital (C). A fórmula utilizada para o cálculo do juros é:

J = C x i

Importante:

No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, mas para a realização dos cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro:

 

Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da aplicação. Se os meses forem de 30 dias, os jurossão comerciais, referente aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o ano civil (365 dias), os juros serão chamados de exatos.

Saiba como calcular juros:

1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa simples de 25% a.a.

Dados encontrados:

C = R$ 5.000

i = 25%a.a.

J = ?

Conversão da taxa de juros:

25% → 25/100 → 0,25

Resolução:

J = C x i → J = R$ 5.000 x 0,25 → J = R$ 1.250,00

2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa simples de 55% a.a.

Dados encontrados:

C = R$ 2.600

i = 55%a.a.

J = ?

Conversão da taxa de juros:

55% → 55/100 → 0,55

Resolução:

J = C x i → J = R$ 2.600 x 0,55 → J = R$ 1.430,00 M = C + J → M = R$ 2.600 + R$ 1.430 → M = R$ 4.030,00

Os juros são divididos em simples e compostos, de acordo com o cálculo a ser feito. Saiba mais sobre isso, lendo o artigo Juros Simples e Compostos.

Taxa de Juros

A taxa de juros é representada pela letra "i" e tem uma unidade de tempo correspondente para cada resultado. Ela é um índice que determina o valor de um capital com base num período. Por exemplo, se em determinado período queremos saber a taxa de juros de uma cálculo financeiro devemos utilizar a fórmula:

ap = ao período de tempo ou

em percentual.

Geralmente, a taxa de juros é acompanhado por uma expressão que significa a periodicidade da taxa:

a.d. = ao dia
a.t. = ao trimestre
a.s. = ao semestre
a.m. = ao mês
a.q. = ao quadrimestre
a.a. = ao ano

Por exemplo, um capital de $ 2.000,00 rende juros de $ 30,00 em dois meses. Qual a taxa correspondente?

i = J/C → 30/2000,00 → 0,015 a.b. (ao bimestre) – forma unitária

No mercado financeiro existem vários tipos de taxas de juros que irão se relacionar ao cálculo financeiro em diferentes situações.

Taxa de Juros Nominal

É usada quando os juros são acrescentados ao capital mais de uma vez no período da taxa de juros. A unidade de tempo é diferente daquela aplicada nos períodos de capitalização. Ela é utilizada em operações com juros simples e sempre apresentadas em períodos semestrais, anuais, mensais, trimestrais ou diários. Como:

36% a.a. capitalizados trimestralmente;
10% a.t. capitalizados mensalmente.

Entende-se por capitalização, o período em que os juros são formados e incorporados ao capital inicial. Como não apresenta uma taxa efetiva, não deve ser utilizada em cálculos com juros compostos.

Mas, toda taxa nominal possui uma taxa efetiva 'escondida' de uma taxa nominal anual, obtida de forma proporcional através dos juros simples, sendo que esse valor será dado pela taxa efetiva.

Taxa de Juros Efetiva

Como a taxa nominal não incorpora capitalizações, é preciso realizar o cálculo da taxa efetiva quando queremos fazer operações com juros compostos. Apenas uma vez em cada período os juros são acrescidos nessa taxa. É uma taxa em que sua unidade de tempo é equivalente a unidade dos períodos de capitalização. Ex.:

26% ao ano/ano (vinte e seis por cento ao ano com capitalização anual)
4% ao mês/mensal (quatro por cento ao mês com capitalização mensal)
1% ao dia/diária (um por cento ao dia com capitalização diária)

Através da taxa nominal é possível encontrar o valor da taxa efetiva através de um cálculo de taxa proporcional. Ex.:

Taxa nominal                                             Taxa efetiva

24% ao ano/mês →Taxa Proporcional → 2% ao mês/mês

Taxa de Juros Proporcional (taxa linear)

Essa taxa é calculada nas operações de multiplicação e divisão dentro dos juros simples. Por exemplo: se deseja saber a taxa de juros anual proporcional a taxa de 2% ao mês, multiplica-se a taxa por 12, a quantidade de meses dentro de uma ano.

2% x 12 (meses) = 24% ao ano

Importante: Ao calcular a taxa anual e a taxa diária é preciso saber quando utilizar o ano civil ou comercial. No ano civil deve-se dividir a taxa anual por 365 ou 366 e no ano comercial deve-se dividir por 360.

Taxas Equivalentes

As taxas equivalentes são aquelas produzidas em tempos diferentes, mas possuem o mesmo capital e no mesmo prazo geram o mesmo montante. Ela é calculada em juros compostos e para isso é preciso utilizar a seguinte fórmula:

1 + ia = (1 + ip)n

ia = taxa anual

ip = período da taxa

n = número de períodos

Veja um exemplo sobre taxa de juros proporcional:

1) Descubra o valor da taxa de juros anual equivalente a 2% ao mês.

2% → 2/100 → 0,02   Taxa de juros anual = 12 equivalente a 1 ano.

1 + ia = (1 + ip)n

1 + ia = (1 + 0,02)12

1 + ia = 1,02 12

1 + ia = 1,2682

ia = 1,2682 – 1

ia = 0,2682

ia = 26,82%

Taxa Over (taxa por um dia)

Também conhecida como taxa over night, é uma taxa que regula as relações econômicas nacionais dentro do mercado financeiro. Esses juros são contabilizados apenas nos dias úteis por período geralmente, multiplicado por 30. Ela é utilizada por instituições financeiras e instituições autorizadas pelo Banco Central.

Exemplo: Em um capital de R$ 100.00.00 aplicado à taxa over de 27%, qual será o montante durante um período de 21 dias?

1) Primeiro, deve-se procurar a taxa efetiva diária da aplicação:

n x i = x   

30 (dias/mês) x i = 27%

i = 27% / 30 i = 0,9%

0,9% representa a taxa efetiva diária

2) Segundo, deve ser feito o cálculo do montante:

M = C x (1 + i)n

M = 100.000 x (1 + 0,0009)²¹

M = 100.000 X ( 1, 009 )²¹

M = 100.000 X 1,20702

M = 120.702,0069

M = 120.702,01 reais

Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros Real

A Taxa Aparente é a taxa efetiva de juros em que não são considerados os efeitos da inflação dentro de uma operação financeira, ou seja, se a inflação for zero, tanto a taxa aparente, quanto a taxa real serão iguais.

Já a Taxa de Juros Real é determinada desconsidera os efeitos da inflação e é correspondente ao período da operação.

Fonte: Ok Concursos